Determiénsok és mátrixok invertálása
Tartalom:
1.
↑
{1,2,3,...,n} számok egy sorrendje permutáció
összes perm. száma n!
{1,2,3...n} számok {i1,i2,i3...in} permutációjában ik és il inverzióban van, ha k<l de ik>il
5,1,4,2,3
5-1;5-4;5-2;5-3;4-2;4-3
determinéns
egy mátrixhoz egy valós számot rendelünk
det A = |A|
szumma[szigmától] epszilon(szigma)*[minden olyan lehetséges szorzat, hogy pontosan egy darab minden sorból]
nedrendű mátrixnak n! tagó lesz a szumma
mátrix, főátló (\) alatt 0-k ⇒ det = főátló elemeinek a szorzata
/felső háromszög mátrix.../
kétszerkettes mátrix
det A = a11*a22 - a12*a21
háromszorhármas
a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a11*a23a32 - a12a21a33-a13a22a31
1. ha A mátrix egy sorának minden eleme 0 akkor a mátrix determinánsa 0
2. négyzetes mátrix és transzponáltjának (a_ij => a_ji) determinánsa megyegyezik |A|=|AT|
3. mátrix 2 sorát felcseréljük → determináns a -1szeresére változik; mert: páros inverzióból páratlan
4. A mátrix két sora megegyezi, akkor a determinánsa 0
...
NETEN AZ ELŐADÁS...
első sor mínusz kétszeresét hozzáadjuk az első,
mínusz egyszeresé a második..
mínusz háromszorosát a harmadikhoz... megfelelő számszorosát mindegyikhez
de ad hoc, mert ki kell találni, hányszorosát melyikhez adjuk hozzá
a11*a22*a33 + a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a11*a23a32 - a12a21a33-a13a22a31 =
a11(aldetermináns) -a12(aldetermináns2)
a11*(a22a33 - a32*a23) - a12*()... mint normáls det. kiszámolás mint egyenesnél...
első sor szerinti aldeterminánsos kifejtés
-1^(i+j) előjellel kell ellátni
|A|=szum(k=1től n-ig)=a_ik * A_ik
egységmátrix: főátlóbna egy, azon kívül 0
A*(A^(-1))=I_n
det(A)*det(A^-1)=1
egy mátrix inverzének a determinánsa az eredeti determináns reciproka
0 0
1 0
szor
. .
. .
biztos 0-t kapunk...
egy mátrix reguláris, ha van, szinguláris, ha nincs inverze
Mátrix invertálása Gauss-féle szimultán eliminációval