Többváltozós függvények
Tartalom:
1.
↑
érintősík egyenlete:
f1'(a,b)(x-a) + f2'(a,b)(y-b) - (z-c) = 0
ez a felület P(a,b,f(a,b)) pontbeli síkja
d^2f / dx_idx_k=f''_ik
először iedik, aztán kadik változó szerint deriválunk
f(x,y)=2x^3 + 5x^2y^3 - ln (xy^2)
f1'(x,y)=6x^2 + 10xy+3 -1/x
f2'(x,y) = 15x^2y^2 - 2/y
ln(xy^2)= 1/(xy^2) * 2xy = 2/y
n-edrendű fv-nek n^2 darab másodrendű deriváltja lesz
f fv-nek Hesse mátrixa: az f fv másodrendű deriváltjainak mártixa...
f11-f1n
| |
fn1-fnn
kvadratikus alak:
n+ (n^2-n)/2 tag összege
A= [
2 1
1 -1
]
Ax= [
2*x_1+x_2
x_1-x_2
]
<Ax,x>=2x_1^2+x_1x_2 + x_1x_2-x_2^2
fordítva:
3x_1^2-6x_1x_2-x_2^2
A = [
3 -3
-3 -1
x1^2-2x1x2+x2^2:
pozitív szemidefinit, mert teljes négyzet, nagyobbegyenlő 0
x1^2-2x1x2+2*x2^2:
(x1-x2)^2+x2^2
pozitív definit
alfa1x1^2 + alfa2x2^2 + alfa3x3^2
mind nagyobb 0 - pozitív definit
mind nagyobbegyenlő 0 - pozitív szemidefinit
A = diag (d1,d2,...dn)
<Ax,x> =d1x1^2 + ... + dnxn^2
<U^TAUx,x> = <AUx,Ux> = <Ay,y>
sajátértékek előjeléből definitság