Sajátérték, sajávektor
Tartalom:
1.
negyedévesek megtekintése: szerdán este 8, Sóház 2-es terem (lenn az alagsorban, dejó lesz!)
"...úgyhogy egyből a sokadik oldalon kezdem..."
↑
hogyan lehet mátrixokat a tulajdonságaikat megtartva a lehető legegyszerbb alakban leírni
Ax=b akkor a legegyszerűbb, ha független egyenletekre esik szét
3 0 0 0
0 4 0 0
0 0 2 0
0 0 0 1
főátlóban van csak 0tól különb szám...
inverzét egyszerű meghatározni, ha van (akkor van, ha a főátlüóban nincs 0): minden elem reciprokát írjuk a főátlóba
determinánsa a főátló elemeinek a szorzata
lambda A mátrix sajátértéke, ha van olya x elem IR^n \ {0}, melyre
Ax=lambdax
Ax -lambdax = (A-lambdaI)x= 0
det(A-lambdaI)=0
Az A mátrix fődiagonálisában lévő elemeiből mind kivonunk lambdát
1 0 -1
0 1 1
2 0 -2
sajátértékek:
det(A- lambdaI) = det[
1-lmb; 0; -1
0; 1-lmb; 1
2 0 -2-lmb
]= -lambda^3+lambda
megoldások: (0;-1;1)
lambda=0-hoz x sajátvektor
(A -0*I)*x=0
x1=t
x2=-t
x3=t
lambda=-1hez
(A+*I)x=0
_____________________________________↓
D=diag(d1,d2,d3,d4...dn)
diagonális mátrix: főátlón kívül minden eleme 0
3;1
2;4
det étréke főátlóból lambdákat vonunk → sajátértékek
1 1
0 1
karakterisztikus egyenlet det (A-lambdai)= (1-lambda)^2
lambda12=1
egy sajátérték kétszeres multiplicitását
(A-I)*x=0
legyen két lin. független x megoldása
/0 1\
\0 0/
x2=0
0=0
erre redukálódik
sajátvektor: (t sub 0)
/t\
| |= (t sub 0)
\0/
ha egy olyan mátrixot tekintünk, melynek minden sajátértéke egyszeres, akkor az biztosan diagonalizálható..
csak akkor lehet, hogy nem diag, ha a karkterisztikus egyenletének többszörös gyökei is vannak↓- de ez csak szükséges feltétel, nem elégséges
pl. In×n
egy gyöke van, de az nszeres, viszont diagonalizálható, mivel eleve diagonális
A^T=A (szimmetrikus)
lambda ≠= mü
x & y ≠= 0
Ax=lambdax
Ax= müy
lambda*<x;y>=<lambda*x;y>= <Ax;y>=<x;A^Ty>=<x;Ay>=<x;müy>=mü*<x;y> ⇒ <x;y>=0
spektráltétel