Mátrixok rangja, lineáris egyenletrendszerek

Lineáris függetlenség

a1↓-ak ELEME Radn
alfa[1-től k-ig]
alfa1*a1.....alfak*ak ELEME R ad n
ha egyik nem nulla, akkor nem treiviális

b = lineáris komb(a1-ak)
→ b lineáris kombinációja az a1-ak-knak
b [3,2,1] = a1[1,1,1]+a2[1,1,0]+a3[1,0,0]

a1↓-ak vektorok lineárisan összefüggők, ha a zérusvektor előállítható az a1↓-k vektorok valamilyen nem triviális lineáris kombinációjaként

lineárisan független, ha csak triviálisan állítható elő belőlük a zérusvektor

⇒
zérusvektort tartalmazó vektorrendszer lineárisan függő biztosan..
mert a nullvektort szorzom, amivel akarom, az marad

egy vektorrendszer akkor és cska akkor lin. összefüggő, ha közölök egy előállítható a többi lin. kombinációjaként
biz.:
alfa1a1 + alfa2a2 + ... alfakak = 0
legyen alfa1 a nemnulla, átindexeléssel elérhető
legyen ez balra, összes többi jobbra, aztán elosztunk alfa1-gyel,
és voálá
tökjó.

fordítva:
a1=béta2*a2 + ... bétak*ak
-a1 + béta2*a2 + ... bétak*ak=0
QED, csupa sikerélmény az élet...

egy vektor csak egyféleképp fejezhető ki egy lin. független vektorrendszerrel,
mert ha lenne másik, akkor azt kivonva az eésőből nullvektort kéna kapni. és mivel lin. független,
ezért a két együttható külöünbsége mindenütt nulla kelll legyen, tehát a másik kifejezés megegyezik

R^n -ban minden n+1 tagú vektorrendszer lineárisan függő
R^4-ben néégy lin. független vektorből vektorrendszer
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
ha ehhez hozzáadunk még egyet:
x1 x2 x3 x4
azt már nem lehet úgy elhelyezni,
mert minden tagja kifejezhető egy vektorral

(1 0 0) (1 1 0) (1 1 1)
lin független, ha:
x1*(1 0 0) + x2*(1 1 0) + x3*(1 1 1)

x1+x2+x3=0
x2+x3=0
x3=0
ez csak úgy élehet, ha x1=x2=x3=0

de a:
a1 1 0 0 <↓csak ezek itt oszlopvekktorok
a2 0 1 1
a3 1 1 1
-nél
kiírva egyenletrendszerként a második meg a harmadik egyenlet ugyanaz

egy vektorrendszer rangja a benne lévő legnagyobb számú lineárisan független vektorrendszer elemszáma.

vektorrendszer rangja nem vált. ha megv. a vektorok sorrendjét
valamely tagját emgszorozzuk nemnulla sakalárral
vmely vektorához egy másik vektorát hozzáadjuk

⇒ rangmeghatározás

Mátrixrang:
n*m-es mátrix:
az oszlopvektorok egy vektorrendszert alkotnak

1 1 1
0 1 1 = A
0 0 1
rangja: 3

Tétel: n×m-es mátrix,
akkor rangja egyenlő a maxuimális rendű el nem tűnő aldeterminánsának a számával

ha A n×n,
akkor r(A) = n pontosan akkor, ha det A ≠= 0 (vagyis van inverze)

maximális nem zérus aldeterminánsa

mátrix egy sorának vezető eleme az eéső nem 0 eleme a sornak

lépcsős mátrix: a nemnulla sorok biztosan lineárisan függetlenek...:
két sor segítségével egy harmadikat nem lehet kifejezni, mert biztos lesz egy tag a sorban, amit nem lehet kioltani

sorcsere, sorszorzás nemnullával, két különböző sor összeadásával el lehet érni a lépcsős alakot,
amiből ránézésre látszik, hogy mekkora a rangja

Lineáris egyenletrendszerek

A*x=b
ha b=0 akkor homogén lin. egyenletrendszer

megoldható egy egyenletrendszer, ha b kifejezhető A oszlopainak lineáris kombinációjaként

(A|B) - kibővített mátrixa az egyenletrendszernek... hozzácsapjuk a b-t

ha ey egyenletrendszernek egynékl több megoldása van, akkor végtelen
Ax=b
Ay=b
z=1/2*x +1/2*y
Az= 1/2Ax +1/2Ay = 1/2b + 1/2b = b
ha x vektor és y vektor megoldása egy egyenletrendszernek, akkor az őáltaluk meghatározott egyenes is megyoldása

ha lineárisan független A mátrix, akkor vay nincs megoldás, vagy pontosan egy van
ha lin. független, akkor minden kifejezhető vektor pontosan egyféleképp fejezhető ki vele

egy egyenletrendszer megoldható, ha kibővített mátrixának rangja ugyanaz, mint az alapmátrixáé