Lineáris algebra
Tartalom:
1. Vektorok
↑
Vektorok
n-dimenziós térben képzeljük el, de jó lesz majd nekünk
2dienzióson a vektort számpárral jellemzünk...
ndimenziós térben számennesekkel, detökjó az
megadható oszlopként (mint a binominálisnál, csak több tag)
/a1\
| a2 |
a= | a3 |
|... |
\ /
és sorban a'=(a1, a2, a3, ...)
a11*x1 + a12*x2 + ... =b1
a21*x1 + a22*x2 + ... =b2
......
soxor alul- vagy túlhatározott egyenlet
x= (x1, ..., xn)
b= (b1, ..., bn)
A pediglen egy mátrix
/a11 ... a1n \
|. . |
A= |. . |
|. . |
\am1 ... amn /
Ax=b
Ha a,b ELEME |R^n akkor összegük az az a + b ELEME IR^n vektor,
amelyre
(a + b)_i= a_i + b_i
i: azonos dimenzióban lévő vektorok adhatók össze
összeadás kommutatív, asszociatív
skalárral szorzás... asszociatív, kommutatív, disztributív
MŰ(a + b)_i = MŰa_i + MŰb_i
alafák skalárok...
a ELEME |R^n
alfa1*a1 + alfa2*a2 + ... + alfan*an
PL: háromszög súlyvonala
avektor
bvektor
Sc= (a+b)/2
Súlyvonalba mutat xvektor
lambda*Sc
'A' csúcsból is mutat egy... műszerese az Sa-nak
b+műszor(a/2 -b) = labmda*a/2 + lambda*b/2
műperkettő = lambdaperkettő
1-mű=lambdaperkettő
lambda=mű=2/3
háef: nézzük meg ezt tetraéderrel, mutassuk meg, hogy negyedelik egymást
_______________________________
skaláris szorzat
a·b=<a,b>
vektorpárokhoz rendel valós számokat...
vektor hossza/normája:
gyök(a·a)
|R^n a1...an vektorrendszerét ortogonálisnak nevezünk,h ha tagjai páronként ortogonálisak
ortonormált rendszerről beszélünk, ha ezen vektorrendszernek minden tagja egységvektor is
ortogonális: felírható a vektorok segítségével bármely pont
<a/|a|;b/|b|> = <a;b>/|a|*|b|
lambda*(a·b)^2 <= lambda* a·a * b·b
cos(kjsahgj) = (a·b)/(|a||b|)
kjsahgj a két vektor szöge
példa:
a=(1,2,2)
b=(1,1,0)
akkor szögük 45˚
háromszögben:
c=b-a
|c|^2= (b-a)·(b-a) = |b|^2 - 2*a·b + |a|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2*|a|*|b|*cosbigyó
„ez meg a cosinustétel, dejó, kijött számolás nélkül”
egyenes egyenlete az ndimenziós térben
origó, eblőle két vektor kijelöli az egyene skét pontját
egy pont egyenlő:
x = a + t*(b-a) = (1 - t)*a + t*b [t ELEME |R]
HIPERSÍK: eggyel kisebb dimenziós, mint a tér
egy sík akkor van megadva, ha ismerjük egy vektorát (egy pontjára mutató vektort, legyen 'c'), és megadunk egy olyan vektort, ami merőleges erre a síkra (vagyis sakaláris szorzata vele 0... legyen 'p')
<p;x-c>=0
egy egyenes távolsága egy hipersíktól:
egyenes egyenlete: a + s(b-a)
<p;a + tp - c> = 0
t*|p|^2 = <p; c - a>
t = <p; c - a> / |p|^2
d = |p·(c - a)|/|p|
MÁTRIXOK ÉS MÁTRIXMŰVELETEK
a_ij ELEME |R, 1<= i <= m, 1<= j <= n
n=m → négyzetes mátrix
két mátrix akkor adható össze, ha azonos méretűek..
összegmátrixban azonos helyen lévő elemek összege
skalárral szorzás: mindegyik elemét megszorozzuk valamennyivel
transzponált mátrix:
tükrözzük az elemeket:
A_ij=B_ji; ha B trnszponáltja A-nak
A=A^T → A négyzetes, és alfa_ij=alfa_ji
A mátrix m*n-es
B mátrix n*k
C meg m*k (egy elemegammaij)
gammaij = szummal=1tőln-ig (ail)
C harmadik sorának második eleme = (Aharmadik sora)·(B második eleme)
Ax ELEME |IR^m
A: |R^n -→ |R^m
x -→ Ax
B·A = BoA